题目内容
若函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x),由函数y=f(x)确定数列{an},an=f(n),由函数y=f-1(x)确定数列{bn},bn=f-1(n),则称数列{bn}是数列{an}的“反数列”.
(1)若数列{bn}是函数f(x)=
确定数列{an}的反数列,试求数列{bn}的前n项和Sn;
(2)若函数f(x)=2
确定数列{cn}的反数列为{dn},求{dn}的通项公式;
(3)对(2)题中的{dn},不等式
+
+…+
>
log(1-2a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
(1)若数列{bn}是函数f(x)=
x+1 |
2 |
(2)若函数f(x)=2
x |
(3)对(2)题中的{dn},不等式
|
|
|
1 |
2 |
分析:(1)由f(x)=
,知f-1(x)=2x-1,所以bn=2n-1,由此能求出Sn.
(2)由f(x)=2
,知f-1(x)=
,由此能求出{dn}的通项公式.
(3)记Tn=
+
+…+
,得Tn=
+
+…+
,故Tn+1-Tn=
-
>0,由此能求出实数a的取值范围.
x+1 |
2 |
(2)由f(x)=2
x |
x2 |
4 |
(3)记Tn=
|
|
|
2 |
n+1 |
2 |
n+2 |
2 |
2n |
2 |
2n+1 |
2 |
2n+2 |
解答:解:(1)∵f(x)=
,
∴f-1(x)=2x-1,
所以bn=2n-1,
Sn=2(1+2+3+…+n)-n
=2×
-n=n2.(4分)
(2)∵f(x)=2
,∴f-1(x)=
,
所以dn=
.
(3)记Tn=
+
+…+
,
得Tn=
+
+…+
,
Tn+1-Tn=
-
>0,
所以{Tn}递增,故(Tn)min=T1=1.
由已知得,
loga(1-2a)<1,
解得0<a<
-1,
∴实数a的取值范围是(0,
-1).
x+1 |
2 |
∴f-1(x)=2x-1,
所以bn=2n-1,
Sn=2(1+2+3+…+n)-n
=2×
n(n+1) |
2 |
(2)∵f(x)=2
x |
x2 |
4 |
所以dn=
n2 |
4 |
(3)记Tn=
|
|
|
得Tn=
2 |
n+1 |
2 |
n+2 |
2 |
2n |
Tn+1-Tn=
2 |
2n+1 |
2 |
2n+2 |
所以{Tn}递增,故(Tn)min=T1=1.
由已知得,
1 |
2 |
解得0<a<
2 |
∴实数a的取值范围是(0,
2 |
点评:本题考查数列与函数的综合应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意反函数的合理运用,合理地进行等价转化.
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