题目内容
由函数y=f(x)确定数列{an},an=f(n),若函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)能确定数列{bn},bn=f-1(n),则称数列{bn}是数列{an}的“反数列”.(1)若函数f(x)=2
x |
(2)对(1)中{bn},不等式
|
|
|
1 |
2 |
(3)设cn=
1+(-1)λ |
2 |
1-(-1)λ |
2 |
分析:(1)f(x)=2
(x≥0)?an=2
,f-1(x)=
(x≥0),由此能求出数列{an}的反数列为{bn}的通项公式.(2)把不等式化为
+
+…+
>
loga(1-2a),Tn=
+
+…+
,Tn+1-Tn=
+
-
=
-
>0,数列{Tn}单调递增,所以(Tn)min=T1=1,要使不等式恒成立,只要1>
loga(1-2a),由此能求出使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围.
(3)设公共项tk=cp=dn,k、p、q为正整数,当λ为奇数时,tn=2n-1,{tn}的前n项和Sn=n2.当λ为偶数时,tn=3n,{tn}的前n项和Sn=
(3n-1).
x |
n |
x2 |
4 |
2 |
n+1 |
2 |
n+2 |
2 |
2n |
1 |
2 |
2 |
n+1 |
2 |
n+2 |
2 |
2n |
2 |
2n+1 |
2 |
2(n+1) |
2 |
n+1 |
2 |
2n+1 |
2 |
2n+2 |
1 |
2 |
(3)设公共项tk=cp=dn,k、p、q为正整数,当λ为奇数时,tn=2n-1,{tn}的前n项和Sn=n2.当λ为偶数时,tn=3n,{tn}的前n项和Sn=
3 |
2 |
解答:解:(1)f(x)=2
(x≥0)?an=2
(n为正整数),f-1(x)=
(x≥0)
所以数列{an}的反数列为{bn}的通项bn=
(n为正整数)(2分)
(2)对于(1)中{bn},不等式化为
+
+…+
>
loga(1-2a)..(3分)
Tn=
+
+…+
,Tn+1-Tn=
+
-
=
-
>0,
∴数列{Tn}单调递增,(5分)
所以(Tn)min=T1=1,要是不等式恒成立,只要1>
loga(1-2a).(6分)
∵1-2a>0,∴0<a<
,又1-2a>a2,0<a<
-1
所以,使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0,
-1)..(8分)
(3)设公共项tk=cp=dn,k、p、q为正整数,
当λ为奇数时,cn=2n-1,dn=
(n+1)(9分)
2p-1=
(p+1),q=4p-3,则{cn}?{bn}(表示{cn}是{bn}的子数列),tn=2n-1
所以{tn}的前n项和Sn=n2..(11分)
当λ为偶数时,cn=3n,dn=log3n(12分)
3q=log3q,则q=33p,同样有{cn}?{bn},tn=3n
所以{tn}的前n项和Sn=
(3n-1)(14分)
x |
n |
x2 |
4 |
所以数列{an}的反数列为{bn}的通项bn=
n2 |
4 |
(2)对于(1)中{bn},不等式化为
2 |
n+1 |
2 |
n+2 |
2 |
2n |
1 |
2 |
Tn=
2 |
n+1 |
2 |
n+2 |
2 |
2n |
2 |
2n+1 |
2 |
2(n+1) |
2 |
n+1 |
2 |
2n+1 |
2 |
2n+2 |
∴数列{Tn}单调递增,(5分)
所以(Tn)min=T1=1,要是不等式恒成立,只要1>
1 |
2 |
∵1-2a>0,∴0<a<
1 |
2 |
2 |
所以,使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0,
2 |
(3)设公共项tk=cp=dn,k、p、q为正整数,
当λ为奇数时,cn=2n-1,dn=
1 |
2 |
2p-1=
1 |
2 |
所以{tn}的前n项和Sn=n2..(11分)
当λ为偶数时,cn=3n,dn=log3n(12分)
3q=log3q,则q=33p,同样有{cn}?{bn},tn=3n
所以{tn}的前n项和Sn=
3 |
2 |
点评:本题考查数列通项公式的求法、实数的取值范围和前n项和的求法,解题时要注意导数的合理运用和分类讨论思想的灵活运用.
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