Question

（本小题满分18分）已知函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）在处取得极小值1；（Ⅱ）时，在上单调递减，在上单调递增；  时，函数在上单调递增。
(Ⅲ) 或.

试题分析：（Ⅰ）的定义域为，
当时，，

		1
	—	0	+
		极小

 
所以在处取得极小值1.
（Ⅱ），
    
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；  
②当，即时，在上，
所以函数在上单调递增.       
（III）在上存在一点，使得成立，即 在上存在一点，使得，
即函数在上的最小值小于零.
由（Ⅱ）可知
①当，即时，在上单调递减，
所以的最小值为，由可得，
因为，所以；
②当，即时， 在上单调递增，
所以的最小值为，由可得；
③当，即时， 可得的最小值为，
因为，所以
故   
此时，不成立.   
综上讨论可得所求的取值范围是：或.
点评：①极值点的导数为0，但导数为0的点不定是极值点。②利用导数研究函数的单调性时，一定要先求函数的定义域。③注意恒成立问题与存在性问题的区别。