Question

9．平面向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=-4$，且|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=4，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角等于$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影为1．

Answer 1

分析 利用数量积运算性质可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再利用向量夹角公式与投影公式即可得出．

解答 解：∵$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=-4$，且|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=4，
∴$2{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2×2²-4²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4，
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4}{2×4}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角等于$\frac{π}{3}$，
$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4}{4}$=1．
故答案分别为：$\frac{π}{3}$；1．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式与投影公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．