Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右顶点，直线分别与轴交于点，问：以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若存在，请求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）以为直径的圆恒过轴上的定点，.

【解析】

试题分析：对问题（1），根据椭圆离心率定义，关系、菱形面积公式即可求得椭圆的标准方程；对问题（2）假设存在这样的点，设出点等各点的坐标，再结合以及共线，同时注意到，进而可求得的值，故以为直径的圆恒过轴上的定点.

试题解析：（1）依题意，得，解得，故椭圆的标准方程为.

（2），设，，，则由题意，可得（＊）且，，

由三点共线，所以，故有，解得，同理可得，假设存在满足题意的轴上的定点，则有，即，因为，所以，即，整理得，又由（＊）得，所以，解得或.故以为直径的圆恒过轴上的定点，.