Question

【题目】已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于、两点，若的周长为8.

（1）求椭圆方程；

（2）若直线的斜率不为0，且它的中垂线与轴交于，求的纵坐标的范围；

（3）是否在轴上存在点，使得轴平分?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

试题分析： （1）由题意列出关于的方程组，求出值即可；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立后根据韦达定理将中点用斜率表示，进而中垂线用表示，最后纵坐标用表示再利用基本不等式求出最值；（3）假设存在，利用，列出关于的等式，该等式对任意都成立可求得符合条件的.

试题解析：（1）依题意得，解得，所以方程为.

（2）当不存在时，为原点，,当存在时，则，可得，则，

设弦的中点为，则，，则，令，有,

综上所述，的纵坐标的范围为.

（3）存在.假设存在，由轴平分可得，,即，有,

将式代入有，解得.

考点: 1、待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值；2、解析几何中的存在性问题.

【名师点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在（或者方程有解就存在，没解就不存在），注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.