Question

10．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞0①}\\{2{x}^{2}+（5+2a）x+5a＜0②}\end{array}\right.$解集中的整数有且只有-2，则a的范围（　　）

• A． [-2，2]
• B． [-2，2）
• C． [-3，2]
• D． [-3，2）

Answer 1

分析 解x²-x-2＞0得：x＜-1，或x＞2，解2x²+（5+2a）x+5a=0得：x=-$\frac{5}{2}$，或x=-a，结合不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞0①}\\{2{x}^{2}+（5+2a）x+5a＜0②}\end{array}\right.$解集中的整数有且只有-2，可得a的范围．

解答 解：解x²-x-2＞0得：x＜-1，或x＞2，
解2x²+（5+2a）x+5a=0得：x=-$\frac{5}{2}$，或x=-a，
若-a＜$-\frac{5}{2}$，则2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集为：（-a，$-\frac{5}{2}$），
此时不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞0①}\\{2{x}^{2}+（5+2a）x+5a＜0②}\end{array}\right.$的解集为：（-a，$-\frac{5}{2}$），
-2∉（-a，$-\frac{5}{2}$），不满足条件；
若-a=$-\frac{5}{2}$，则2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集为：∅，
此时不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞0①}\\{2{x}^{2}+（5+2a）x+5a＜0②}\end{array}\right.$的解集为：∅，
-2∉∅，不满足条件；
若-a＞$-\frac{5}{2}$，则2x²+（5+2a）x+5a＜0的解集为：（$-\frac{5}{2}$，-a），
若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞0①}\\{2{x}^{2}+（5+2a）x+5a＜0②}\end{array}\right.$解集中的整数有且只有-2，
则-2＜-a≤3，
解得：a∈[-3，2），
故选：D．

点评 本题考查的知识点是二次不等式的解法，集合的交集运算，分类讨论思想，难度中档．