Question

【题目】椭圆C焦点在y轴上，离心率为 ，上焦点到上顶点距离为2﹣ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则| |2+| |2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 ，

解得 ，

可得b2=a2﹣c2=1，

即有椭圆C的标准方程为： ；

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）

①当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，

S△OPQ=|x1||y1|=1，

又 ，解得 ，

| |2+| |2=2（x12+y12）=2×（ +2）=5；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，

由题意知m≠0，将其代入 ，得

（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0，

即有 ，

则 ，O到PQ距离 ，

则 ，

解得k2+4=2m2，满足△＞0，

则 ，

即有| |2+| |2=（x12+y12）（x22+y22）

=

= =﹣3+8=5，

综上可得| |2+| |2为定值5．

【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5．