Question

已知f（x）=。
（1）讨论f（x）的单调性，并求出f（x）的最大值；
（2）求证：f（x）≤1-；
（3）比较f（2²）+f（3²）+…+f（n²）与的大小，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1），令得
令得
又f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f（x）在上递增，在上递减，从而
；
（2）要证即证
∵
所以只需证
令
则
令得
得（舍去）
∴在（0，1）上递增，在（1，+）上递减
∴
∴成立，即成立；
（3）由（2）知，从而
∴
又
∴


即。