Question

【题目】如图：在三棱锥中，，是直角三角形，，

，点分别为的中点.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的大小；

（3）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题以分别为轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.（1）计算，可得两直线垂直；（2）计算直线的方向向量和平面的法向量，可求得线面角的余弦值，用反三角函数表示出这个角的大小；（3）分别求出平面，平面的法向量，利用法向量求两个平面所成角的余弦值，然后转化为正切值.

试题解析：

解法一（1）连接。在中，.

，点为的中点，

∴.

又，即为在平面内的射影，∴.

分别为的中点，

∴，

∴.

（2），∴.

连结交于点，，∴，

∴为直线与平面所成的角，.

，∴，又，

∴.，∴，

∴在中，，∴，

即直线与平面所成角的大小为.

（3）过点作于点，连结，，

∴，即为在平面内的射影，

，∴为二面角的平面角.

∴中，，

∴，即二面角的正切值为.

解法二 建立空间直角坐标系，如图

则.

（1）∴，

∴，

∴.

（2）由已知可得，为平面的法向量，，

∴，

∴直线与面所成角的正弦值为.

∴直线与面所成角的为.

（3）设平面的一个法向量为，

∴，

∴，令，

∴.

由已知可得，向量为平面的一个法向量，

∴，

∴.

∴二面角的正切值为.