Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1， ， 边分别在轴、轴的正半轴上， 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为.

（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；

（2）若折痕所在直线的斜率为，（ 为常数），试用表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；

（3）当时，求折痕长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；(3) .

【解析】试题分析：（1）若折痕的斜率为时，由于点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出；（2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程，当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，有，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，即可得出；（3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．

试题解析：（1）∵折痕的斜率为时， 点落在线段上

∴折痕必过点

∴直线方程为

（2）①当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程.

②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，

则与关于折痕所在的直线对称，有，即．

∴点坐标为

从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，折痕所在的直线方程，即．

综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为： ．

（3）当时，折痕长为2．

当时，折痕所在直线交于点，交轴于．

∵，

∴折痕长的最大值为.

∴综上所述，折痕长度的最大值为