题目内容

【题目】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，若点在矩形区城内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败，已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线远动方式行进.

（1）如图建系，求的轨迹方程；

（2）记与的夹角为，，如何设计的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功？

（3）若与的夹角为，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度，才能挑战成功？

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先设（），由题意得到，，，列出等量关系，化简整理，即可得出结果；

（2）由（1）的结果，得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的上半圆在矩形区域内的部分，进而可得出结果；

（3）根据题意得到，，根据正弦定理求出，进而可求出结果.

（1）设（），由题意可得：，，

又机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线远动方式行进，

所以，

即，整理得：（）；

（2）由（1）知，点的轨迹是以为圆心，以为半径的上半圆在矩形区域内的部分，

所以当时，就能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功；

（3）由题意，在中，，，

由正弦定理得：，

所以，因此，

即应在矩形区域内，按照与方向夹角为的方向释放机器人乙，才能挑战成功.

练习册系列答案
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