Question

【题目】已知四棱锥中，底面为矩形，且，，若平面，，分别是线段，的中点.

（1）证明：；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置：若不存在，说明理由；

（3）若与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为的一个四等分点（靠近点）时，平面；（3）.

【解析】

（1）连接，利用勾股定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，即可证得；

（2）过点作交于点，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，得到平面，即可得到结论；

（3）取的中点，连接，过点作于点，连接，得到则平面，得出为二面角的平面角，直角中，即可求解.

（1）连接，则，，又，

由，所以，

又由平面，则，

又由，所以平面，

又因为平面，所以．

（2）过点作交于点，则平面，且有，

再过点作交于点，连接，则平面且，

所以平面平面，又由平面，所以平面，

所以当为的一个四等分点（靠近点）时，使得平面．

（3）因为平面，

所以是与平面所成的角，且，所以，

取的中点，连接，则，平面，所以，

在平面中，过点作于点，连接，则平面，

则为二面角的平面角，

因为，所以，

因为，，，且，

所以，，

在直角中，，

故二面角的余弦值为.