Question

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5；设S_n=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2ⁿ），则数列{S_n}的通项公式是

S_n=

1

3

（4ⁿ+2）

．

Answer 1

分析：对m∈N^*，有g（2m）=g（m），从而可得当n≥2时，S_n=4^n-1+S_n-1，利用S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁，即可求得结论．

解答：解：由题意，g（6）=3，g（10）=5，可得对m∈N^*，有g（2m）=g（m）．           
所以当n≥2时，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2^n-1）+g（2ⁿ）
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=

(1+2n-1)×2n-1

2

+[g（1）+g（2）+…+g（2^n-1）]=4^n-1+S_n-1，
于是S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．
所以S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n

3

+

2

3

，n≥2，n∈N^*．       
又S₁=2，满足上式，
所以对n∈N^*，S_n=

1

3

（4ⁿ+2）
故答案为：S_n=

1

3

（4ⁿ+2）

点评：本题考查新定义，考查数列的求和，解题的关键是正确理解新定义，正确求数列的和是关键．