Question

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设S_n=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2ⁿ）．
（Ⅰ）求g（6），g（20）的值；
（Ⅱ）求3S₁-2，3S₂-2，3S₃-2的值；并由此猜想{S_n}的通项公式（不必证明）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，g（6）=3，g（10）=5，
（Ⅱ）由题意，仿照数列通项公式求法解决．

解答：解：Ⅰ）由题意，g（6）=3，g（10）=5，
（Ⅱ）3S₁-2=3g（1）-2=1，
3S₂-2=3[g（1）+g（2）+g（3）+g（4）]-2=3×6-2=16
3S₃-2=3[g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（8）]-2=3×21-2=60
所以对n∈N^*，猜想S_n=

1

3

（4ⁿ+2）

点评：题考查新定义，考查数列的求和，解题的关键是正确理解新定义．