Question

若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N^*），设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，g（2m）=g（m）（m∈N^*），S₁=g（1）+g（2），S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4），S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8），能求出S₁，S₂，S₃．
（Ⅱ）由g（2m）=g（m），n∈N₊，知Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n-1）+g（2n）=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2^n-1）]，得Sn-Sn-1=4n-1，由此能求出S_n．

解答：解：（Ⅰ）S₁=g（1）+g（2）=1+1=2
S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6
S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22
（Ⅱ）∵g（2m）=g（m），n∈N₊
∴Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2^n-1）]
=

(1+2n-1)•2n-1

2

+[g(1)+g(2)+…g(2n-1)]=4^n-1+S_n-1
则Sn-Sn-1=4n-1
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2=

4(4n-1-1)

4-1

+2=

1

3

•4n+

2

3

点评：本题考查数列的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．