题目内容
【题目】设正数x，y满足log 
x+log3y=m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，则实数a的取值范围是（ ）
A.（1， 
]
B.（1， 
]
C.[ ，+∞）
D.[ ，+∞）
【答案】C
【解析】解：∵log 
x+log3y=m，即log3 
+log3y=log3 
=m， ∴ =3m ， ∵m∈[﹣1，1]，∴ ∈[ 
，3]．
∵3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2 ，
∴3a﹣18 +（2a+3） 
≥1﹣2 + ，
令 =t，则2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，
设f（t）=2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，
∵不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，
∴f（t）在[ ，3]上的最大值fmax（x）≥0，
（i）当a=﹣1时，f（t）=﹣16t﹣4，
∴fmax（t）=f（ ）=﹣ 
﹣4＜0，不符合题意；
（ii）若a＜﹣1，则f（t）开口向下，对称轴为t= 
＜0，
∴f（t）在[ ，3]上单调递减，
∴fmax（t）=f（ ）= 
﹣6＜0，不符合题意；
（iii）若a＞﹣1，则f（t）开口向上，对称轴为t= ＞0，
①若0＜ ≤ ，即a≥11时，f（t）在[ ，3]上单调递增，
∴fmax（t）=f（3）=21a﹣31＞0，符合题意；
②若 
，即﹣1＜a 
时，f（t）在[ ，3]上单调递减，
∴fmax（t）=f（ ）= ﹣6≤ 
﹣6＜0，不符合题意；
③若 ＜ ＜3，即 ＜a＜11时，f（t）在[ ，3]上先减后增，
∴fmax（t）=f（ ）或fmax（t）=f（3），
∴f（ ）= ﹣6≥0或f（3）=21a﹣31＞0，
解得a≥ 
或a≥ 
，又 ＜a＜11，
∴ ≤a＜11，
综上，a的取值范围是[ ，+∞）．
故选C．
