Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，左、右焦点分别为圆F1、F2 ， M是C上一点，|MF1|=2，且| || |=2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时，线段AB上取点Q，且Q满足| || |=| || |，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，∴a=2c，

椭圆左、右焦点分别为圆F1、F2，M是C上一点，|MF1|=2，且| || |=2 ．

得cos＜ ＞= ，∴∠F1MF2=60°．

在△F1F2M中，由余弦定理得：

（2c）2=22+（4c﹣2）2﹣2×2（4c﹣2）cos60°，

解得c=1．

则a=2，b= ．

∴椭圆C的方程为

（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣4），即y=kx+（1﹣4k），

代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ， ．

设Q（x0，y0），由| || |=| || |，得：

（4﹣x1）（x0﹣x2）=（x1﹣x0）（4﹣x2）（考虑线段在x轴上的射影即可），

∴8x0=（4+x0）（x1+x2）﹣2x1x2，

于是 ，

整理得3x0﹣2=（4﹣x0）k，①

又k= ，代入①式得3x0+y0﹣3=0，

∴点Q总在直线3x+y﹣3=0上

【解析】（1）由已知得a=2c，且∠F1MF2=60°，由余弦定理求出c=1，即可求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；（2）设直线l的方程为y=kx+（1﹣4k），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线方程．