Question

【题目】已知函数f（x）=ex+be﹣x﹣2asinx（a，b∈R）．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调区间；
（2）当b=﹣1时，若f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）=ex+be﹣x，f′（x）=ex﹣ ，

当b≤0时，f′（x）＞0恒成立，即此时函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；

当b＞0时，令f′（x）=0，解得：x= lnb，

当x＜ lnb时f′（x）＜0恒成立，x＞ lnb时f′（x）＞0，

∴此时函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞， lnb）；函数f（x）的单调递增区间为（ lnb，+∞）

（2）解：当b=﹣1时，函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，

又∵当x∈（0，π）时sinx＞0，

∴f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立等价于a＜ 恒成立，

记g（x）= ，其中0＜x＜π，则g′（x）= ，

令h（x）=ex（sinx﹣cosx）+e﹣x（sinx+cosx），则h′（x）=2（ex﹣e﹣x）sinx＞0，

∴h（x）在（0，π）上单调递增，h（x）＞h（0）=0，

∴g′（x）＞0恒成立，从而g（x）在（0，π）上单调递增，g（x）＞g（0），

由洛必达法则可知，g（0）= = =1，

∴a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]

【解析】（1）当a=0时求导可知f′（x）=ex﹣ ，分b≤0与b＞0两种情况讨论即可；（2）通过分离参数可知条件等价于a＜ 恒成立，进而记g（x）= ，问题转化为求g（x）在（0，π）上的最小值问题，通过二次求导，结合洛必达法则计算可得结论．