Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，可求出双曲线方程．
解答：解：（1）设双曲线方程为由，同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，），
∴渐近线斜率为：
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴
∴
可得：，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan
∴；
∴
∴
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为-=1，c=b，
∴AB的直线方程为 y=-2（x-b），代入双曲线方程得：15x²-32bx+84b²=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
4=，16=-，
∴b²=9，所求双曲线方程为：-=1．
点评：做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值．