Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点，己知|

OA

|，|

AB

|，|

OB

|成等差数列，且

BF

与

FA

同向，则双曲线的离心率

 

．

Answer 1

分析：由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

解答：解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，c2=a2+b2由

BF

，

FA

同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，

π

4

），
∴渐近线斜率为：k1=

b

a

＜1∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，∴1＜e2＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴

|OB|-|OA|= 1 2 |AB |OA|+|OB|=2|AB

∴|OA|=

3

4

|AB|∴|OA|2=

9

16

|AB|2
可得：

|AB|

|OA|

=

4

3

，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan（

π

2

-

1

2

∠AOB）
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

(k=-2舍去)；
∴

b

a

=

1

2

∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

1

4

，∴e2=

5

4

∴e=

5

2

故答案为

5

2

．

点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据

|AB|

|OA|

=

4

3

，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．