Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．已知成等差数列，且与同向，
(Ⅰ)求双曲线的离心率；
(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)设双曲线方程为，
右焦点为F(c，0)(c＞0)，则c²=a²+b²，
不妨设l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0，
则，
因为，且，
所以，
于是得，
又与同向，故，
所以，
解得或（舍去），
因此，
双曲线的离心率为。
(Ⅱ)由a=2b知，双曲线的方程可化为x²-4y²=4b²， ①
由l₁的斜率为知，直线AB的方程为，②
将②代入①并化简，得，
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
则，③
AB被双曲线所截得的线段长
，④
将③代入④，并化简得l=，
而由已知l=4，故b=3，a=6，
所以双曲线的方程为。