Question

11．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=4，c=1，A=2B，则sin2B的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{55}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{55}}{9}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据正弦定理和二倍角的正弦公式化简得a=8cosB，利用余弦定理表示出cosB并化简，求出a和cosB的值，由平方关系和B的范围求出sinB，由正弦定理求出sinA的值，即可得到sin2B的值．

解答 解：∵b=4，c=1，A=2B，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则$\frac{a}{sin2B}=\frac{4}{sinB}$，

即$\frac{a}{2sinBcosB}=\frac{4}{sinB}$，化简得a=8cosB，
由余弦定理得，a=8•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴a²=4（a²-15），解得a=$2\sqrt{5}$，则cosB=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
由0＜B＜π得，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{11}}{4}$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得，sinA=$\frac{a•sinB}{b}$=$\frac{2\sqrt{5}•\frac{\sqrt{11}}{4}}{4}$=$\frac{\sqrt{55}}{8}$，
∴sin2B的值是$\frac{\sqrt{55}}{8}$，
故选：A．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形能力．