Question

一个公差不为0的等差数列{a_n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项.

    （1）求{a_n}各项的和S；

    （2）记{b_n}的末项不大于，求{b_n}项数的最值N；

    （3）记{a_n}前n项和为S_n，{b_n}前n项和为T_n，问是否存在自然数m，使S_m=T_n.

   

Answer 1

解：设{a₁}的公差为d，a₁=5，a₄=5+3d，a₁₆=5+15d分别为{b_n}的第1、3、5项，

    ∴(5+3d)²=5(5+15d)，即d=5或d=0(舍).

    （1）S=100×5+×5=25250.

    （2）∵b₁=a₁=5，b₃=a₄=20，

    ∴q²==4.

    ∴q=2或q=-2(舍)，b_n=5·2^n-1．

    令5·2^n-1≤，

    ∴2ⁿ≤5050.又2¹²＜5050＜2¹³，即n＜13，且2¹²=4096＜5050，

    ∴n的最大值N=12.

    （3）设有S_m=T_N即5m+×5=5(2¹²-1)，

    整理得m²+m-8190=0.

    ∴m=90＜100或m=-91（舍），即存在m=90使S₉₀=T₁₂.