Question

一个公差不为0的等差数列{a_n}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1，3，5项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n，试求正整数m，使得S_m=T₁₂．

Answer 1

分析：（1）由两数列对应三项相等建立一个方程组，而求得公差和公比以及等比数列首项，再用通项公式求解．
（2）由（1）利用等差数列和等差数列的前n项和，建立方程再求解．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}公差为d等比数列{b_n}的公比为q，
根据题意得：

a1=b1 a1+3d=b1q2 a1+15d=b1q4

解得：d=1，q=2
∴a_n=n，b_n=2^n-1
（2）S_n与=

n(n+1)

2

，T_n=2ⁿ-1
S_m=T₁₂；
∴

m(m+1)

2

=212-1
∴m=90．

点评：本题是等差与等比数列综合问题，通过相应项相同建立联系来考查通项公式和前n项和公式．