Question

如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知三角形CEO₁为等腰直角三角形，根据勾股定理得到CO₁等于R₁；同理得到AO₂等于R₂，根据线段AC等于AO₂+O₂O₁+O₁C，将各自的值代入即可表示出AC的长，又根据正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC的长度，两者相等即可求出两半径之和的值；
（2）根据两圆的半径，利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和，由（1）中求出的两半径之和表示出R₂，代入两圆的面积之和的式子中消去R₂，得到关于R₁的关系式，根据完全平方大于等于0求出两圆面积之和的最小值时，两半径的值即可．
解答：解：（1）由图知∠CEO₁=90°，CE=O₁E=R₁
∴2R₁²=CO₁²，CO₁=．
同理AO₂=．
∴AC=AO₂+O₂O₁+O₁C
=（R₁+R₂）+（R₁+R₂）
=（R₁+R₂），
又∵AB=1，∴AC=
∴（R₁+R₂）=，
∴R₁+R₂=；

（2）两圆面积之和S=πR₁²+πR₂²
=
=
=．
∴当R₁=，即R₁=R₂时S为最小．
因R₁的最大值为R₁=，这时R₂为最小值，其值为R₂=；
又当R₂=时，R₁有最小值R₁=，
故当R₁=（此时R₂=）或R₁=（此时R₂=）时，S有最大值．
点评：此题考查学生掌握正方形的性质，掌握直线与圆相切时所满足的条件以及两圆外切时所满足的条件，是一道多知识的综合题．