Question

已知椭圆的离心率为，其短轴两端点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.判断以为直径的圆是否过点，并说明理由.

Answer 1

（1）椭圆的标准方程为；（2）点不在以线段为直径的圆上．

解析试题分析：（1）求椭圆的标准方程，已知椭圆的离心率为,短轴端点分别为，可设椭圆方程为，由，可得，从而得椭圆的标准方程；（2）由于,是椭圆上关于轴对称的两个不同点，可设则，若点在以线段为直径的圆上，则，即，即，因此可写出直线的方程为，令，得，写出直线的方程为，令，求得.写出向量的坐标，看是否等于０，即可判断出．
（1）由已知可设椭圆的方程为：.                    1分
由，可得,                                  2分
解得,                                                   3分
所以椭圆的标准方程为.                               4分
（2）法一：
设且，则.                             5分
因为,
所以直线的方程为.                             6分
令，得，所以.                         7分
同理直线的方程为，求得.              8分
                               9分
所以,                         10分
由在椭圆：