题目内容
给定椭圆
．称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．
(1) 
； (2) 
垂直．
解析试题分析：（1）由“椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为”知：
从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程；
（2）分两种情况讨论：①当中有一条直线斜率不存在；②直线斜率都存在．
对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直；
对于②设经过准圆上点
与椭圆只有一个公共点的直线为
与椭圆方程联立组成方程组
消去
得到关于
的方程：
由
化简整理得：
而直线的斜率正是方程的两个根
，从而
（1）
椭圆方程为
准圆方程为
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设
无斜率，
因为与椭圆只有一个共公点，则其方程为
当方程为
时，此时与准圆交于点
此时经过点
（或
）且与椭圆只有一个公共眯的直线是
（或
）
即
为（或），显然直线垂直；
同理可证方程为
时，直线也垂直．
②当都有斜率时，设点其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
则由消去，得
由化简整理得：
因为，所以有
设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点
所以满足上述方程
所以，即垂直,
综合①②知, 垂直．
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的综合问题．
练习册系列答案
相关题目
经过点P（1.
），离心率e=
，直线l的方程为x=4.
.问：是否存在常数λ，使得
？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
.
与椭圆
两点，是否存在实数
，使
成立？若存在，求
的离心率为
，其短轴两端点为
.
的方程；
是椭圆
上关于
轴对称的两个不同点，直线
与
轴分别交于点
.判断以
为直径的圆是否过点
，并说明理由.
左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，
），点F2在线段PF1的中垂线上．
与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
，经过椭圆
的右焦点F及上顶点B，过圆外一点
倾斜角为
的直线
交椭圆于C，D两点，
的方程为
，过原点作斜率为
的直线和曲线
，过
的直线与曲线
，过
的直线与曲线
，如此下去，一般地，过点
作斜率为
的直线与曲线
，设点
（
）．
，并求
与
的关系式（
（
， 向哪一点无限接近？说明理由；
，数列
的前
项和为
，设
，求所有可能的乘积
的和．
是椭圆
的一个顶点，
的长轴是圆
的直径，
、
是过点
且互相垂直的两条直线，其中
于
、
两点，
.
面积的最大值及取得最大值时直线
，
为坐标原点，椭圆的右准线与
轴的交点是
．
在已知椭圆上，动点
满足
，求动点
的直线与椭圆交于点
，求
的面积的最大值