题目内容
已知椭圆
过点
，且离心率为
.斜率为
的直线
与椭圆
交于A、B两点，以
为底边作等腰三角形，顶点为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）求△
的面积．
（1）
；（2）
.
解析试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要求得
，因此我们要寻找关于
的两个等式，本题中有离心率
，是一个等式，另一个是椭圆过点
，即
，再结合
可解得
，得到标准方程；（2）要求△的面积，应该先确定
位置，也即确定直线，我们可以设的方程为
，条件
是以为底边的等腰三角形怎么应用？这个条件用得较多的是其性质，三线合一，即取的中点
，则有
，我们就用这个来求出参数
的值，方法是设
，的中点为
，把直线方程代入椭圆方程，可得
，从而求出
用表示，再由可很快求得，以后就可得到点
的坐标，求出面积.
试题解析：（1）由已知得
. 1分
解得
.又
，所以椭圆G的方程为. 4分
（2）设直线l的方程为.
由
得
. ① 6分
设A、B的坐标分别为
AB中点为E
，
则
. 8分
因为AB是等腰△的底边，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率
，解得m=2. 10分
此时方程①为
，解得
，
所以
，所以|AB|=
.
此时，点P（－3，2）到直线AB：
的距离
，
所以△的面积S=
. 12分
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合问题(相交弦长，点到直线距离，三角形面积等).
练习册系列答案
相关题目
的离心率为
，其短轴两端点为
.
的方程；
是椭圆
上关于
轴对称的两个不同点，直线
与
轴分别交于点
.判断以
为直径的圆是否过点
，并说明理由.
的左、右焦点分别
，其上顶点为
已知
是边长为
的正三角形．
的方程；
任作一动直线
交椭圆
两点，记
．若在线段
上取一点
，使得
，当直线
（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为
．
与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，
恒为定值．
到两个定点
、
的距离之和为
，线段
的长为
.
的方程；
与轨迹
两点，且点
的垂直平分线为
.
的面积的最大值；
、
关于直线
是椭圆
的一个顶点，
的长轴是圆
的直径，
、
是过点
且互相垂直的两条直线，其中
于
、
两点，
.
面积的最大值及取得最大值时直线
的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。
的标准方程；
与椭圆
、
两点，且
，试判断
的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
的离心率
，长轴的左右端点分别为
，
．
与曲线
，且与直线
相交于点
.问在
轴上是否存在定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
是椭圆E：
的两个焦点，抛物线
的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝
上到焦点F1，F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，
的动直线
交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.