Question

已知每项均大于零的数列{a_n}中，首项a₁=1且前n项的和S_n满足S_n

S(n+1)

-S_n+1

Sn

=-2

Sn•S(n+1)

（n∈N^﹢），则a₅₁=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：等式两边同除以

Sn•S(n+1)

，可得

Sn

}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而得到S_n=4n²-4n+1，利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求得结论．

解答： 解：∵S_n

S(n+1)

-S_n+1

Sn

=-2

Sn•S(n+1)

，
∴

S(n+1)

-

Sn

=2，
∵a₁=1，
∴{

Sn

}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴

Sn

=1+2（n-1）=2n-1
∴S_n=4n²-4n+1．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4n²-4n+1）-[4（n-1）²-4（n-1）+1]=8n-8．
∴a₅₁=8×51-8=400
故答案为：400．

点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意求解通项公式的方法技巧．