题目内容

求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为 $数学公式$ 的椭圆；
（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 $数学公式$ 的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为 $数学公式$ ，求抛物线与双曲线的方程．

解：（1）∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为12，
∴设椭圆方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，（a＞b＞0）
∵离心率为e= $\text{[math]}$ ，b=6，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解之得a=10，
从而得到椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
∵抛物线与双曲线的交点为 $\text{[math]}$ ，
∴6=2p× $\text{[math]}$ ，可得p=2，
可得抛物线方程为y²=4x，准线方程为x=-1
∵双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点在抛物线的准线上，∴c=1
又∵ $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上的点
∴ $\text{[math]}$ ，
联解①②，可得a²= $\text{[math]}$ ，b²= $\text{[math]}$ ，得到双曲线的方程为 $\text{[math]}$
∴抛物线的方程为y²=4x，双曲线的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意，得到椭圆离心率为e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，结合b=6和a²=b²+c²解出a=10，从而得到该椭圆的方程；
（2）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将点 $\text{[math]}$ 代入算出p=2，从而得到抛物线方程为y²=4x，所以抛物线的准线为x=-1，结合题意得到双曲线的半焦距c=1，再由点 $\text{[math]}$ 在双曲线上解出a²= $\text{[math]}$ ，b²= $\text{[math]}$ ，可得双曲线的方程．
点评：本题给出椭圆和双曲线满足的两个关系式，求它们的标准方程，着重考查了椭圆、双曲线和抛物线的标准方程与简单几何性质等知识点，属于基础题．