Question

求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为

4

5

的椭圆；
（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(

3

2

，

6

)，求抛物线与双曲线的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为12，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
∵离心率为e=

4

5

，b=6，
∴

a2-62

a

=

4

5

，解之得a=10，
从而得到椭圆方程为

x2

100

+

y2

36

=1；
（2）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
∵抛物线与双曲线的交点为(

3

2

，

6

)，
∴6=2p×

3

2

，可得p=2，
可得抛物线方程为y²=4x，准线方程为x=-1
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点在抛物线的准线上，∴c=1
又∵(

3

2

，

6

)是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点
∴

9 4

a2

-

6

b2

=1，
联解①②，可得a²=

1

4

，b²=

3

4

，得到双曲线的方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1
∴抛物线的方程为y²=4x，双曲线的方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．