Question

（本小题满分12分）如图，设为抛物线的焦点，是抛物线上一定点，其

坐为 ,为线段的垂直平分线上一点，且点到抛物线的准线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ)过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB,分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值,求证：直线PA、PB的倾斜角互补．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ)证明过程见解析

【解析】

试题分析：对于第一问，根据点到准线的距离为，从而得出的值，而得出结果，对于第二问，将倾斜角互补转化成斜率和为0，而直线的斜率用两点的斜率坐标公式，注意题的条件，斜率的关系，从而得出两点的坐标间的关系，已转化即可得结果.

试题解析：（Ⅰ）∵抛物线的方程为，∴直线的方程为 １分

又∵点在线段的垂直平分线上，且为抛物线的焦点，

∴点的横坐标为． 2分

又∵点到抛物线的准线的距离为，∴，即．

∴抛物线的方程为． 5分

（Ⅱ）设,则，又因为点A、B均在抛物线上，所以有，所以,故由已知得 (*) （7分）

又由已知易知,所以从而有(**) （8分）

又因为点A、B、P均在抛物线上，所以有把它们分别代入（**）式，并化简可得：

（10分）

把（*）式代入，可得

故直线PA、PB的倾斜角互补。 （12分）

考点：抛物线的标准方程，直线与椭圆的关系，直线的斜率问题.