Question

17．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：
在定义域（0，+∞）内存在x₀，使函数f（x₀+1）≤f（x₀）f（1）成立；
（1）请给出一个x₀的值，使函数$f（x）=\frac{1}{x}∈M$；
（2）函数f（x）=x²-x-2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x₀组成的集合；若不是，请说明理由；
（3）设函数$f（x）=\frac{a}{{{x^2}+2}}∈M$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）取值带入即可；
（2）根据函数f（x）的定义求解x₀即可；
（3）利用函数的思想求解．

解答 解：（1）令x₀=2，则$\frac{1}{3}≤\frac{1}{2}$，成立；
（2）假设函数f（x）=x²-x-2是集合M中的元素，则存在x₀，使
f（x₀+1）≤f（x₀）f（1）成立，
即（x₀+1）²-（x₀+1）-2≤（${{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2$）（-2），
解得：$\frac{1-\sqrt{73}}{6}≤{x}_{0}≤\frac{1+\sqrt{73}}{6}$，
故x₀组成的集合是：{x₀|$\frac{1-\sqrt{73}}{6}≤{x}_{0}≤\frac{1+\sqrt{73}}{6}$}；
（3）∵函数f（x）=$\frac{a}{{x}^{2}+2}∈M$，
∴$\frac{a}{（x+1）^{2}+2}≤\frac{a}{{x}^{2}+2}•\frac{a}{3}$，
设g（x）=$\frac{3（{x}^{2}+2）}{（x+1）^{2}+2}$=$\frac{3（1+\frac{2}{{x}^{2}}）}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}$，
∴0＜g（x）＜3，2
a=0时显然成立，
当a＞0时，a＞g（x），∴a＞3；
a＜0时，a＜g（x），∴a＜0；
综上，a≤0或a＞3

点评 本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题