Question

已知抛物线C顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线C上的点（1，m）到F的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不与x轴垂直的直线l₁与抛物线C交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线l₂恰好过点M（4，0），求证：线段AB中点的横坐标为定值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设出抛物线方程，把点（1，m）到F的距离等于2转化为点到准线的距离等于2求得p的值，则抛物线方程可求；
（2）设线段AB中点的坐标为N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线MN的斜率，得到直线AB的斜率，写出直线AB的方程，和抛物线方程联立后由根与系数关系求得即线段AB中点的横坐标为定值2．

解答： （1）解：由题意设抛物线方程为y²=2px，其准线方程为x=-

p

2

，
∵（1，m）到焦点的距离等于到其准线的距离，
∴1+

p

2

=2，p=2．
∴此抛物线的方程为y²=4x；
（2）证明：设线段AB中点的坐标为N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线MN的斜率为

y0

x0-4

，
∵AB不垂直于x轴，∴直线AB的斜率为

4-x0

y0

，直线AB的方程为y-y₀=

4-x0

y0

（x-x₀），
联立方程

y-y0= 4-x0 y0 (x-x0) y2=4x

消去x，得(1-

x0

4

)y2-y0y+y02+x0(x0-4)=0，
∴y₁+y₂=

4y0

4-x0

，
∵N为AB中点，∴

y1+y2

2

=y0，即

2y0

4-x0

=y0，
∴x₀=2，即线段AB中点的横坐标为定值2．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．