题目内容

12．在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）（理科）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，设这两人中两科成绩均为A的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
（文科）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

分析 （1）由“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，求出该考场有40人，由此能求出该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．
（2）由频率分布直方图能求出该考生考“数学与逻辑”科目的平均分．
（3）（理）两人中两科成绩均为A的人数为ξ，ξ可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（文）随机抽取两人进行访谈，利用列举法求出基本事件空间，随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A包含的基本事件有1个，由此能求出这两人的两科成绩均为A的概率．

解答 解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：
40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3．…（3分）
（Ⅱ）该考生考“数学与逻辑”科目的平均分为：
1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9．
（Ⅲ）（理）因边两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有两人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，
随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}，{乙、丙}，{乙、丁}，{丙、丁}，
有6个基本事件，
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A“为事件B，
所以事件B包含的基本事件有1个，则P（B）=$\frac{1}{6}$，
两人中两科成绩均为A的人数为ξ，ξ可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{4}{6}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
所以ξ的分布列为：

ξ012
P$\frac{1}{6}$$\frac{4}{6}$$\frac{1}{6}$
Eξ=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{4}{6}+2×\frac{1}{6}$=1．
（Ⅲ）（文）因边两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有两人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，
随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}，{乙、丙}，{乙、丁}，{丙、丁}，
有6个基本事件，
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A“为事件B，
所以事件B包含的基本事件有1个，则P（B）=$\frac{1}{6}$，
故这两人的两科成绩均为A的概率为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布和列举法的合理运用．

练习册系列答案
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