Question

双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率等于

2

，焦点到渐近线的距离为1，直线y=kx-1与双曲线E的右支点交于A，B两点，
（1）求k的取值范围；
（2）若|AB|=6

3

，点C是双曲线左支上一点，满足

OC

=m（

OA

+

OB

），求C点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用离心率公式，a，b，c的关系可得，a=b，再由点到直线的距离公式，得到b=1，再联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，及韦达定理，解不等式，即可得到k的范围；
（2）运用弦长公式，解得k，设C（s，t）（s＜0），则s²-t²=1，再由向量的加法运算，得到s，t的关系式，解方程，即可得到C的坐标．

解答： 解：（1）由于双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率等于

2

，
则e=

c

a

=

2

，c²=a²+b²，则a=b，
由于渐近线方程为y=±x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为1，
则有d=

c

2

=1，则c=

2

，a=b=1，
则有双曲线方程为x²-y²=1，联立直线y=kx-1，消去y，得，
（1-k²）x²+2kx-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则4k²+8（1-k²）＞0，且x₁+x₂=

-2k

1-k2

＞0，x₁x₂=

-2

1-k2

＞0，
解得，1＜k＜

2

，
即有k的取值范围是（1，

2

）；
（2）|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2+ 8 1-k2

=6

3

，
解得，k²=

5

4

或

5

7

，
由于1＜k＜

2

，则k=

5

2

，
则x₁+x₂=

-2k

1-k2

=4

5

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=

-2

1-k2

=8，
又点C是双曲线左支上一点，设C（s，t）（s＜0），
则s²-t²=1，
又

OC

=m（

OA

+

OB

），则s=m（x₁+x₂）=4

5

m，t=m（y₁+y₂）=8m，
由于s＜0，则t＜0，解得，s=-

5

，t=-2．
即有C（-

5

，-2）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质：主要是离心率和渐近线，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用判别式和韦达定理，以及弦长公式，考查平面向量的加法运算，属于中档题和易错题．