Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是BB₁和BC的中点，AB=4，AD=2，B₁D与平面ABCD所成角的大小为60°，求异面直线B₁D与MN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：先求出高B₁B，再通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B₁，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值，再用方三角函数值表示即可．

解答：解：连接B₁C，由M、N分别是BB₁和BC的中点，得B₁C∥MN，
∴∠DB₁C就是异面直线B₁D与MN所成的角、
连接BD，在Rt△ABD中，可得BD=2

5

，又BB₁⊥平面ABCD，∠B₁DB是B₁D与平面ABCD所成的角，∴∠B₁DB=60°、
在Rt△B₁BD中，B₁B=BDtan60°=2

15

，
又DC⊥平面BB₁C₁C，∴DC⊥B₁C，
在Rt△DB₁C中，tan∠DB₁C=

DC

B1C

=

DC

BC2+B B 2 1

=

1

2

，
∴∠DB₁C=arctan

1

2

、
即异面直线B₁D与MN所成角的大小为arctan

1

2

、

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．