题目内容
已知向量
=(3-cos2(x+
)，-2
)，
=(1，sinx+cosx)，x∈[-
，
]，且
•
=
，求sin2x的值．
| a |
| π |
| 4 |
| 2 |
| b |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| 8 |
| 9 |
分析：利用平面向量数量积的坐标运算及诱导公式可求得
•
=2[sin(x+
)-1]2=
，从而可求得sin（x+
）=
，x∈[-
，
]⇒x+
∈[-
，
]，于是知cos（x+
）=
，从而可求得sin2x的值．
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| 8 |
| 9 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
2
| ||
| 3 |
解答：解：∵
•
=（3-cos2（x+
））•1-2
（sinx+cosx）
=-cos2（x+
）-4sin（x+
）+3
=2sin2(x+
)-4sin（x+
）+2
=2[sin(x+
)-1]2
=
，
∴sin（x+
）=
，
又x∈[-
，
]，
∴x+
∈[-
，
]，
∴cos（x+
）=
=
，
∴sin2x=-cos（2x+
）=1-cos2(x+
)=-
．
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| 2 |
=-cos2（x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=2sin2(x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=2[sin(x+
| π |
| 4 |
=
| 8 |
| 9 |
∴sin（x+
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
又x∈[-
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴cos（x+
| π |
| 4 |
1-sin2(x+
|
2
| ||
| 3 |
∴sin2x=-cos（2x+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 7 |
| 9 |
点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查三角函数中的恒等变换应用及平面向量数量积的坐标运算，考查同角三角函数间的关系及诱导公式、倍角公式的综合应用，属于中档题．
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