Question

已知向量

a

=(3，4)，

c

=(k，0)
（1）若

a

⊥(

a

-

c

)，求k的值；
（2）若k=5，

a

与

a

-

c

所成的角为θ，求cosθ

Answer 1

分析：（1）由

a

=(3，4)，

c

=(k，0)，知

a

-

c

=(3-k，4)，由

a

⊥(

a

-

c

)，知3×（3-k）+4×4=0，由此能求出k．
（2）由k=5，知

a

-

c

=（-2，4），由此能求出

a

与

a

-

c

所成的角θ的余弦值．

解答：解：（1）∵

a

=(3，4)，

c

=(k，0)，
∴

a

-

c

=(3-k，4)，（1分）
∵

a

⊥(

a

-

c

)，∴

a

•(

a

-

c

)=0，（3分）
∴3×（3-k）+4×4=0，（5分）
解得k=

25

3

．（7分）
（2）∵k=5，∴

a

-

c

=（-2，4），（8分）
∴|

a

-

c

|=

(-2)2+42

=2

5

，
|

a

|=

32+42

=5，（11分）
cosθ=

a •( a - c )

| a |•| a - c |

=

-2×3+4×4

5×2 5

=

5

5

．（14分）

点评：本题考查平面向量的垂直关系的应用，考查平面向量的夹角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答．