Question

3．在梯形ABCD中，$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，AD=2，∠BAD=60°，E为CD中点．$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=4．则AB的长为$\frac{4}{15}$．

Answer 1

分析 运用几何图形得出$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$$-\frac{5}{8}$$\overrightarrow{AB}$，代入$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=4．
化简得出4+$\frac{1}{8}$|$\overrightarrow{AB}$|$-\frac{15}{32}$|$\overrightarrow{AB}$|²=4，即可求解得出AB的长度．

解答 解：∵根据向量的运算得出$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$$-\frac{5}{8}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AD}$$-\frac{5}{32}$$\overrightarrow{AB}$²=4，
∵|$\overrightarrow{AD}$|=2，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=2×|$\overrightarrow{AB}$|×COS60°=|$\overrightarrow{AB}$|，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=4．
∴4+$\frac{1}{8}$|$\overrightarrow{AB}$|$-\frac{15}{32}$|$\overrightarrow{AB}$|²=4，
得出：|$\overrightarrow{AB}$|=0（舍去），
|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{4}{15}$．

故答案为：$\frac{4}{15}$

点评 本题考察了平面向量的几何运算，与数量积的运算，关键是分解表示向量，属于中档题．