Question

12．若0＜a≤b，且f（x）=$\frac{1}{2}$abx+log₃（3^-x+1）为偶函数，则a+2b的取值范围是（　　）

• A． （2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （3，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质建立方程关系，得到ab=1，然后利用基本不等式进行化简求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$abx+log₃（3^-x+1）为偶函数
∴f（-x）=f（x），
即-$\frac{1}{2}$abx+log₃（3^x+1）=$\frac{1}{2}$abx+log₃（3^-x+1），
即abx=log₃（3^x+1）-log₃（3^-x+1）=log₃$\frac{{3}^{x}+1}{{3}^{-x}+1}$=log₃（$\frac{{3}^{x}+1}{1+{3}^{x}}•$3^x）=log₃3^x=x，
则ab=1，
∵0＜a≤b，
∴0＜a²≤ab=1，
即0＜a≤1，
则a+2b=a+$\frac{2}{a}$，
设g（a）=a+$\frac{2}{a}$，
则g（a）=a+$\frac{2}{a}$在（0，1]上为减函数，
∴g（a）≥g（1）=1+2=3，
故选：D

点评 本题主要考查基本不等式的应用，根据函数奇偶性的定义求出ab=1是解决本题的关键．