Question

13．已知函数$f（x）=\sqrt{-{x^2}+2x+8}$的定义域为集合A，函数g（x）=lg（-x²+6x+m）的定义域为集合B．
（1）当m=-5时，求A∩∁_UB；
（2）若A∩B={x|-1＜x≤4}，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由偶次根号下被开方数大于等于零列出不等式求出A，由真数大于零列出不等式求出B，由补集的运算求出∁_UB，由交集的运算求出A∩∁_UB；
（2）由条件、交集的运算、一元二次不等式的解法，列出关于m的方程，求出实数m的值．

解答 解：（1）由-x²+2x+8≥0得-2≤x≤4，
∴集合A=[-2，4]，
当m=-5时，g（x）=lg（-x²+6x+m）=lg（-x²+6x-5），
由-x²+6x-5＞0得1＜x＜5，
∴集合B=（1，5），则∁_UB=（-∞，1]∪[5，+∞）
∴A∩C_UB=[-2，1]；
（2）∵A=[-2，4]，A∩B={x|-1＜x≤4}=（-1，4]，
且集合B={x|-x²+6x+m＞0 }，
∴-1是方程-x²+6x+m=0其中一个根，
则-1-6+m=0，解得m=7，
∴实数m的值是7．

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，一元二次不等式的解法，以及函数的定义域求法，属于基础题．