Question

17．已知函数f（x）=ax-lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）有最小值，且最小值大于2-a时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；
（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a-1，根据函数的单调性即可求出a的范围

解答 解：（1）f（x）=ax-lnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
若a≤0，则f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
若a＞0，则当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＜0，
当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增，
（2），由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；
当a＞0时，f（x）在x=$\frac{1}{a}$取得最小值，最小值为f（$\frac{1}{a}$）=lna+1，
∵f（$\frac{1}{a}$）＞2-a，
∴lna+a-1＞0，
令g（a）=lna+a-1，
∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，
当a＞1时，g（a）＞0，
∴a的取值范围为（1，+∞）．

点评 本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．