Question

【题目】已知函数

（1）若函数在处有最大值，求的值；

（2）当时，判断的零点个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，函数无零点；当或时，函数只有一个零点.

【解析】

（1）根据函数最值点可确定，从而求得；代入的值验证后满足题意，可得到结果；

（2）令，将问题转化为零点个数的求解问题；分别在、和三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个数.

（1）由题意得：定义域为，，

在处取得最大值，，解得：.

当时，，，

，在上单调递减，

又，则时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，满足题意；

综上所述：.

（2）令，，则与的零点个数相等，

①当时即，函数的零点个数为；

②当时, ，在上为减函数，

即函数至多有一个零点，即至多有一个零点.

当时，，

，即，又，

函数有且只有一个零点，即函数有且只有一个零点；

③当时，令，即，

令，则

在上为增函数，又，

故存在，使得，即.

由以上可知：当时，，为增函数；当时，，为减函数；

，，

令，，

则，在上为增函数，

则，即，当且仅当，时等号成立，

由以上可知：当时，有且只有一个零点，即有且只有一个零点；当时，无零点，即无零点；

综上所述：当时，函数无零点；当或时，函数只有一个零点.