Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，.

（1）证明：平面；

（2）若且，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】

（1）根据，，利用勾股定理得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明.

（2）由，，易得，在平面内过点作轴垂直于，再结合（1）以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，求得的坐标，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由求解.

（1）因为，，

所以，

所以.

又，且，平面，平面，

所以平面.

（2）因为，，

所以，

在平面内过点作轴垂直于，又由（1）知平面，

分别以，所在直线为，轴建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，.

因为，

所以.

所以，，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

取得.

设直线与平面所成角为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.