Question

【题目】如图，已知四边形为菱形，且，取中点为.现将四边形沿折起至，使得.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若点满足，当平面时，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）只需证明，，，由线面垂直的判定定理可得证明；

（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和平面的法向量.设二面角的大小为，可知为锐角，利用空间向量法即可得到所求值；

（Ⅲ）由计算出向量的坐标，由，计算可得所求值.

（Ⅰ）在左图中，为等边三角形，E为中点，所以，所以.

因为，所以.

因为，，，所以平面；

（Ⅱ）设菱形的边长为，由（Ⅰ）可知，，.

所以以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图空间坐标系.

可得，，，，，.

设平面的法向量为，所以，即.

令，则.

平面的法向量为.

设二面角的大小为，则为锐角，；

（Ⅲ）由，

因为平面，则，即，所以.