Question

【题目】甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且 ， ， ， ．

所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P

ξ的数学期望为 ．

解法二：根据题设可知， ，

因此ξ的分布列为 ，k=0，1，2，3．

因为 ，所以 ．

（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又 = ， ，

由互斥事件的概率公式得 ．

解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3．

由于事件A3B0，A2B1为互斥事件，故有P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）．

由题设可知，事件A3与B0独立，事件A2与B1独立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）= ．

【解析】（1）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相对应的概率列出分布列即可，解法二：根据题设可知， ξ ～ B ( 3 ， ),E ξ = 3 × = 2,（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D，互斥事件的概率公式得 P ( A B )，解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件，可计算出概率.
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．