Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ，g（x）=ax+b．
（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣ 图象的切线，求a+b的最小值；
（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求证：x1x2＞2e2 ．
（取e为2.8，取ln2为0.7，取 为1.4）

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）= ，则 ，

∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对x＞0，都有 ，

即对x＞0，都有 ，

∵ ，∴a≤0，

故实数a的取值范围是（﹣∞，0]

（2）解：设切点 ，则切线方程为 ，

即 ，亦即 ，

令 ，由题意得 ，

令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则 ，

当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；

当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，

∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1

（3）证明：由题意知 ， ，

两式相加得 ，

两式相减得 ，

即 ，

∴ ，

即 ，

不妨令0＜x1＜x2，记 ，

令 ，则 ，

∴ 在（1，+∞）上单调递增，则 ，

∴ ，则 ，

∴ ，

又 ，

∴ ，即 ，

令 ，则x＞0时， ，

∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，

又 ，

∴ ，

则 ，即

【解析】（1）要使h（x）在（0，+）上单调递增，则在（0，+）内h'（x）0恒成立；（2）设出切点坐标，写出切线方程，构造函数a+b==-lnt+t2-t-1，利用导数讨论函数的单调性，进而求出的最小值；（3）构造函数F（t）=lnt-，根据函数F（x）的单调性可知lnt，构造函数G（x）=lnx-，并利用导数讨论G（x）的单调性.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．