Question

【题目】已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）（a≠0）．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当a＞0时，设函数g（x）= x3﹣f（x），函数h（x）=g′（x），
①若h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
②证明：ln（1×2×3×…×n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ax（lnx﹣1）的导数为f′（x）=a（lnx﹣1）+a=alnx，

当a＞0时，x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当a＜0时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．

即有a＞0，f（x）的递增区间为（1，+∞）；

a＜0时，f（x）的递增区间为（0，1）

（2）①当a＞0时，设函数g（x）= x3﹣f（x）= x3﹣ax（lnx﹣1），

函数h（x）=g′（x）= x2﹣alnx，x＞0，

h（x）≥0恒成立，即为 ≥ 的最大值，

由y= 的导数为 ，当x＞ 时，函数y递减；

当0＜x＜ 时，函数y递增，即有x= 取得最大值 ，

则有 ≥ ，解得0＜a≤e；

②证明：由①可得 ＜ ，x∈N，

即有2elnn＜n2，

可得2e（ln1+ln2+ln3+…+lnn）＜12+22+32+…+n2，

则ln（123…n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．

【解析】（1）对f（x）进行求导，f′（x）=a（lnx﹣1）+a=alnx，对a进行分类讨论得到单调区间，（2）①当a＞0时，对g（x）进行求导，由题意可得的最大值，求出右边函数的导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求a的范围，②由①可得,,可得，由累加法和对数的运算性质即可得证.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．